Sobre las Matemáticas: Qué estudiar, un pequeño repaso y ejercicios resueltos

Queremos dedicar un espacio a las Matemáticas, ciencia fundamental a la hora de enfrentar un exámen de admisión en una universidad y en el estudio de todos los programas de formación en pregrado, recordando que el estudio de las matemáticas es un eje común en los contenidos de estudio de la mayoría de carreras, y con mayor importancia para quienes estudian (o desean estudiar) una ingenieria, física, matemáticas exactas y licenciaturas principalmente.

La lectura de enunciados es fundamental, pero tener conocimientos básicos claros y poder razonar y emplear lógica matemática en la resolución a los problemas que plantean los exámenes tipo Icfes ayuda mucho para responder acertivamente.

Conceptos fundamentales

- Conjuntos numéricos

N [Naturales], "aquellos que sirven para contar"
Z [Enteros], "los naturales y sus opuestos"
Q [Racionales], "todo numero que se puede expresar como un cociente (división) y el denominador no es cero"
I [Irracionales], "números que tienen expresión decimal infinita no periódica, como "pi"
R [Reales], "todos los conjuntos anteriores"

Nota: No es carácteristico trabajar en exámenes tipo Icfes (a diferencia de Olimpiadas Matemáticas) con números complejos

- Representación de un número par: 2n, donde n€ a los naturales.
- Representación de un número impar: 2n + 1, donde n€ a los naturales.
- Un número primo es todo número que solamente tiene como divisores a sí mismo y a el uno, como (2,3,5,7,11,13,17,19,23,...)

- El máximo común divisor MCD de 2 o más números es el máximo valor numerico que divide exáctamente a esos números.
Ejemplo: Divisores de 20 (1,2,4,5,10,20)
Divisores de 12 (1,2,3,4,6,12)
así que el MCD de 20 y 12 es 4
- Así mismo, el mínimo común multiplo MCM, se define como el mínimo valor numerico que es común entre los múltiplos de 2 o mas números.

- Potencias y Radicales con propiedades Click aquí
- Gráficas de funciones Click aquí (en PDF)
- Operaciones con funciones Click aquí
- Factorización Click aquí

- Resolución de ecuaciones lineales: Son expresiones con una o más incognitas y se debe despejar a la incognita para hallar su valor numérico, aplicando operaciones matemáticas en AMBOS lados del símbolo de igualdad (=).

Ejemplo:

5x + 12 - 4x + 3 = 12   // Expresión dada.
x + 15 = 12             // Agrupando términos semejantes. (Las incognitas y los números)
x + 15 - 15 = 12 - 15   // Restando 15 a ambos lados para despejar a X
x = -3

Ojo, hay que reemplazar los valores resultantes en la expresión original y verificar si la igualdad se cumple, sobre todo cuando se realizan ejercicios de ecuaciones cuadráticas donde hay 2 posibles respuestas.

5(-3) + 12 - 4(-3) + 3 = 12   // Reemplazar x por 3
-15 + 12 + 12 + 3 = 12        // Ejecutar las operaciones
12 = 12                       // Verificación de la igualdad

- Resolución de ecuaciones cuadráticas: El procedimiento es similar al descrito anteriormente con las lineales, despejar a X factorizando o aplicando la fórmula cuadrática.
Click aquí para más información y ejemplos.

Nota: Por lo general no se trabajan en exámenes tipo Icfes con ecuaciones de orden superior, es decir, donde el mayor exponente de la X es igual o superior a 3.

- Áreas y perímetros de polígonos regulares: Click aquí (Wikipedia) o aquí (GeoKa)
- Soluciones a sistemas de ecuaciones 2 x 2: Click aquí

Solución de problemas

1. Comprender el problema: Identificar incognitas, cantidades conocidas y establecer condiciones dadas. Si le sirve de ayuda, haga un esquema o dibujo para que lo entienda mejor.

2. Planear: Determinar algúna relación entre las incognitas y los datos conocidos, y luego buscar esa misma relación en forma matemática.

3. Ejecutar: Hacer las operaciones, si es necesario haga paso por paso, con calma, asegurandose de hacer las cosas bien y seguramente lo hará bien.

4. Mirar hacia atrás: Revisar los pasos realizados para ver si se han cometido errores y para encontrar formas mas sencillas de resolver el problema.

Nota: Ojo al plantear el modo como va a resolver el problema, si es un procedimiento conocido por usted, adelante, si no está seguro, intente por varios caminos rápidamente o implemente analogías, "busque distintas alternativas".

Nota: Para plantear el problema, desglose el texto inicial teniendo en cuenta los signos de puntuación y las oraciones completas que lo conforman.

Ejemplo: Pregunta del examen de admisión para pregrados de la Universidad Nacional de Colombia Periodo I -2009.
La solución de la ecuación 64 ^x-2 - 256 ^2x es
A. x= -2
B. x= 6/7
C. x= -6/5
D. x= 0

Ojo, solucionar una ecuación es despejar la incognita y hallar su valor numérico, en este caso, usted podría preguntarse, ¿pero no hay ningúna igualdad? -correcto, entonces pongala igualada a cero.

Entonces se tiene que:

64 x-2 - 256 2x = 0   // Ecuación dada
64 x-2 = 256 2x       // Enviar el segundo término al otro lado de la igualdad
(2 6) x-2 = (2 8) 2x  // Expresando 64 y 256 como potencias de 2
2 6x-12 = 2 16x       // Aplicando propiedades: Potencia de una potencia y distributiva

Aqui tenemos una igualdad, 2 elevado a (6x-12) debe ser igual a 2 elevado a 16x, entonces:

6x - 12 = 16x    // Ecuacion dada
-12 = 10x        // "Pasando" el 6x a restar al otro lado
-12/10 = x       // "Pasando" el 10 a dividir, pues está multiplicando a X
x= -6/5          // Simplificando la fracción. Respuesta C

Ejemplo: Tambien del examen de admisión 2009-1 de la Unal
La expresión (5n-2)3n - (5n-2)(n-1) es equivalente a
A. 10n² - 13n + 2
B. n-1
C. 3n² - 3n
D. 10n² + n -2

Solución

(5n-2)3n - (5n-2)(n-1)          // Expresión dada
15n2 - 6n - (5n2 - 2n -5n + 2)  // Aplicando propiedad distributiva
15n2 - 6n - 5n2 + 2n + 5n - 2   // Abriendo el paréntesis [Ver más]Tenga en cuenta que el menos que está antes del paréntesis cambia el signo de cada factor.
10n2 + n - 2                    // Agrupando términos semejantes

Un repaso corto pero valioso para tener claros todos estos conceptos fundamentales de matemáticas, los cuales ayudan a responder correctamente exámenes de matématicas del Icfes, del exámen de admisión de la Universidad Nacional y pruebas similares.