[Resuelto] Cociente de gravedades de dos asteriodes
Considere dos asteroides de igual densidad p, el primero es de radio r y el segundo de radio 2r.
L>>r
El peso de un cuerpo de masa m, es decir la fuerza gravitacional que experimenta el cuerpo en la superficie de un asteroide de masa M y radio R, está dado por GM1M2 / r2 donde G es una constante (volumen de una esfera = 4π r3/3 ).
El cociente entre la aceleración gravitacional en la superficie del planeta 1 y la del planeta 2 en su superficie es (g1 / g2)
A. 4
B. 2
C. 1/2
D. 1/8
Pregunta enviada por danny1993
L>>r
El peso de un cuerpo de masa m, es decir la fuerza gravitacional que experimenta el cuerpo en la superficie de un asteroide de masa M y radio R, está dado por GM1M2 / r2 donde G es una constante (volumen de una esfera = 4π r3/3 ).
El cociente entre la aceleración gravitacional en la superficie del planeta 1 y la del planeta 2 en su superficie es (g1 / g2)
A. 4
B. 2
C. 1/2
D. 1/8
Pregunta enviada por danny1993
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Publicado por
Felipe Calvo
Ingeniero Industrial y Magíster en Estadística de la Universidad Nacional de Colombia. Consultor en políticas públicas y docente universitario. Conoce más de mi trabajo. Instagram: Felipe CalvoTwitter: @feliperspicuo |
Bueno, este problemilla es un poco largo, pero es muy sencillo,recordemos la ley de gravitacion universa de newton la cual dice que la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro es directamente proporcional a la masa de los cuerpos e inverso al cuadrado de la distancia, de otro modo asi:
F= (G*m1*m2)/d^2
donde:
G= Constante de Gravitacion Universal= 6,67 x10^-11 Nm^2/kg^2
m1=masa del planeta o asteroide en este caso
m2= masa del cuerpo de masa m
por definicion sabemos que, en el caso de la tierra, la fuerza que se ejerce entre un cuerpo cuaquiera y la tierra es el peso, o sea mg (masa*gravedad), asi mismo pasa en la ecuacion de newton para el asteroide.
F=m2*g ==>Fuerza que ejerce el asteroide sobre el cuerpo.
donde:
m2=masa del cuerpo.
g= gravedad del asteroide.
reemplazamos en la ecuacion de newton y nos keda
m2*g=G*m1*m2/d^2
como m2 esta a ambos lados de la ecuacion, se cancela, quedara:
g=G*m1/d^2
de acuerdo a esto sabemos que la gravedad de un planeta o asteroide es igual a la constante de gravitacion universal por la masa del planeta o asteroide en este caso dividido por la distancia, ¿Que es la distancia? todo cuerpo que este parado sobre su superficie, o sea que este sobre su radio, por eso es que en la tierra hay pequeñas variaciones de gravedad dependiendo de la altura en la que estemos, es maxima en el nivel del mar y minima en los pisos termicos altos, es maxima en el ecuador y minima en los polos.Bueno, volviendo al problema; la gravedad del asteroide 1 seria:
g1=G*m1/d1^2
g1=G*m1/r1^2
su masa seria:
p=m1/v1 ==> p=densidad; m1= masa asteroide 1; v1=volumen1
v1=(4πr1^3)/3 ==>r1= radio asteroide 1
desarrollamos, recordemos que ambos planetas tienen igual densidad, por lo cual es una constante que llamaremos "D":
m1=p*v1
m1=(D*4π(r)^3)/3
m1=4/3π*D*r^3
reemplazamos y la gravedad del asteroide 1 será:
g1= m1*G/r^2
g1=(4/3π*r^3*D)*G/r^2 (cancelamos r)
g1=4/3π*r*D*G
ahora, hallaremos la gravedad del planeta dos:
g2=m2*G/d2^2
g2=m2*G/r2^2
p=m2/v2 ==>la densidad es igual para ambos planetas recuerden, lo
que varia es el volumen debido a la diferencia de
radios.
m2=p*v2
m2=D*4/3π*(2r)^3 ==>2r= Radio asteroide 2
m2=32/3*π*r^3*D
ahora que sabemos su masa, podemos hallar su gravedad:
g2=m2*G/r2^2
g2=(32/3*π*r^3*D)*G/(2r)^2
g2=(32/3*π*r^3*D)*G/4r^2 ==>Cancelamos "r" y simplificamos.
g2=8/3*π*r*D*G
ahora procedemos a hallar la respuesta (g1/g2):
g1/g2= (4/3*π*r*D*G)/(8/3*π*r*D*G) ==>Cancelamos π*r*D*G
g1/g2=(4/3)/(8/3)
g1/g2= 1/2
Despues de todo esto, podemos concluir que la respuesta es la C.
Disculpen por no usar subindices aun no los manejo. Espero que me entiendan. Adios. Cualquier material nuevo de estudio del icfes envienmelo a m_0090@hotmail.com...Adios... :) 8)
:: Miguel Angel ¡Muchas gracias por tu aporte! :)
Esa es la respuesta correcta. Saludos.